LOGIKA MATEMATIKA DALAM PERNYATAAN MAJEMUK DAN BERKUANTOR

A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).

1. Pernyataan

                      1.1. Pengertian Pernyataan .

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

      1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan

                    Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,

             p dan q.Perhatikan contoh berikut !

       1.3. Kalimat Terbuka.

                     Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga

              belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka

              tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan

              suatu konstanta.

              Contoh :

a)      Kalimat terbuka : x + 5 = 9

Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)

b)      Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)

B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan

     Ingkaranya.

B.1. Pernyataan Majemuk.

                 Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu

        pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga

        diperoleh suatu pernyataan majemuk.

                  Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu

         ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)

         dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Operasi Logika	Penghubung	Lambang
Ingkaran	Tidak, non	~ atau -
Konjungsi	Dan
Disjungsi	Atau
Implikasi	Jika….maka….
Biimplikasi	Jika dan hanya jika

         Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam

         logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.

Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan

Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.

p	~ p
B S	S B

1.2. Operasi Konjungsi

       Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua

       pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “”. Dengan operasi ini dua

       pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.

       Jika p dan q dua pernyataan , maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya

       bernilai benar, sebaliknya pq bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai

       salah atau keduanya salah.

Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.

                  

p	Q	pq
B B S S	B S B S	B S S S

1.3. Operasi Disjungsi

       Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda 

       ””. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata

        hubungan “atau”.

        Jika p dan q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya

        bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya pq  

       bernilai salah jika keduanya bernilai salah.            

         Tabel nilai kebenaran Disjungsi

p	q	pq
B B S S	B S B S	B B B S

1.4. Operasi Implikasi.

        Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang

         menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.

         Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis  pq dan dibaca “ jika p maka q”.

         Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah

         syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.

         Dalam pernyataan pq

         p disebut hipotesa / anteseden / sebab

         q disebut koklusi / konequen / akibat

         Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q

         salah,dalam kemungkinan lainnya pq benar.

          Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S B B

1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).

       Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung  “……jika

       dan hanya jika …..” dinotasikan  “” . 

       Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis  p  q  dibaca p jika dan hanya jika q.

       Pernyataan  p  q  dapat juga dibaca :

1)      p equivalent q

2)      p adalah syarat perlu dan cukup bagi q

Jika  pdan q dua buah pernyatan maka  p  q  benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p  q  salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .

       Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.

           

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S S B

1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.

       Dari pernyataan-pernyataan tunggal  p,  q,  r,  . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi

       pernyataan  negasi (~), konjungsi (), disjungsi (), implikasi () dan biimplikasi ()

       dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.

        Contoh : 1)  ~( p  ~q)

               2)  ~

        3) 

       Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan

       pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan

       biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai

       kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .

       Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p  ~q ).

        Jawab  :  

           

p	q	~q	( pq )	~ ( p  ~q ).
B B S S	B S B S	S B S B	B B B S	S S B S

        Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p  ~q ) adalah  S  S B S

C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi

       Dari suatu pernyataan bersyarat  “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain

       sebagai berikut :

1)       q   p    disebut pernyataan Konvers dari p q

2)      ~p  ~q  disebut pernyataan Invers dari p q

3)      ~q  ~p  disebut pernyataan Kontraposisi dari p q

Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .

Tabel hubungan nilai kebenaran q   p, ~p  ~q , ~q  ~p  dengan  p q

				Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
P	q	~p	~q	p q	q   p	~p  ~q	~q  ~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

        Dari tabel diatas ternyata :

Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar

C.1. Negasi Pernyataan Majemuk

       Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi

       pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:

Operasi	Lambang	Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi		atau

       Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !

D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik

     Kesimpulan

            Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.

            Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

D.1. Modus Ponens

Jika  benar dan p benar maka q benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

    . . . . . . premis 1

p              . . . . . . premis 2

                 . . . . .  kesimpulan / konklusi

       Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai

      . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi

       merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan

       majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari

       pernyataan-pernyataan komponennya.

       Tabel nilai kebenaran dari

p	q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

       Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa  merupakan

       tautologi,jadi argumen tersebut sah.

D.2. Modus Tollens

Jika  benar dan  benar maka p benar

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

 . . . . . premis 1

~q        . . . . . premis  2

 

      ~p    . . . . . . kesimpulan / konlusi

   

       Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah

       atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !

       

       Tabel nilai kebenaran

      

p	q	~p	~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

       Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwamerupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah .

D.3. Silogisma

Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

 . . . . .       premis 1

 . . . . .       premis 2

. . .        kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai  sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran .

p	q	r
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

     Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa  merupakan

     tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.